Как разложить уравнение на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Содержание

Разложение многочлена на множители. Теория и примеры

Как разложить уравнение на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты сделаешь это, выражение станет намного проще и ты сможешь с ним “разобраться”! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности. 

Прочитай эту статью и у тебя не останется вопросов по этой теме. Сначала мы разберем что означают все “сложные” слова, потом объясним все пять ВОЛШЕБНЫХ способов разложения многочлена на множители. И затем разберем на примерах как это делать.

Let's dive right in… (Поехали!) 

– это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков “+” или “-“, как бы нет других членов… 

– это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число  , разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так   мы можем получить, умножив   на  , а  , в свою очередь, можно представить как произведение   и  .

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя, т.е. их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что,  , а  ? Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами,  . Тут  , еще раз   и   – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь. Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь “официальное” определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом. 

Длячего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них…

Применяется если преобразование не очевидно.

Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

группируем члены парами, получаем:

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение   имеет корни  , то его можно записать в виде:

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря,  .

Так же можно проделать и обратную операцию,  , вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как   и  , например, так и с числами:  .

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа  , ведь все знают, что числа  ,   и   делятся на  , а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

 ?

Как узнать на что, например, делится число  , неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится наПризнак делимости числа на данный делитель
2Оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8
3Сумма цифр делится на 3
5Последняя цифра 5 или 0
7Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь
9Сумма цифр делится на 9
10Последняя цифра – ноль
11Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4. 

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению  , может вынести за скобку   да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на   разделить не удастся, 

Можно воспользоваться признаком делимости на  , сумма цифр  ,   и  , из которых состоит число  , равна  , а   делится на  , значит и   делится на  .

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления   на   получаем   (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число   мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

 .

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением! 

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например,  , видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на   – снова выносим, смотрим что получилось:  .

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

А вот что должно было получиться:

Как ты успел заметить, эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

3. Группировка или метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

 ­­

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на   что-то делится и на  , а что-то на   и на  

 Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере: 

В многочлене  ­­ ставим член –   после члена –   получаем   

 группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:  

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух “кучек”, на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки  , а из второй  , получаем:  

Но это же не разложение!

После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это  

 за скобку и получаем финальное произведение  

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения  , которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид:  .

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера: 

Многочлен   в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.

Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно   вместо  . Представим третий член   как разность  , получим:   К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!), имеем:  , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!), представив  , как  , получим:  .

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

Ответы:​

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:  

Пример:

Разложить многочлен на множители  .

Решение:

 .

Еще пример:

Разложи на множители  .

Решение:

 .

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

 .

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример:

Разложите на множители выражение  .

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
 .

В первой группе вынесем за скобку общий множитель  , а во второй −  :
 .

Теперь общий множитель   также можно вынести за скобки:
 .

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение: Пример:

\begin{array}{*{35}{l}} {{x}{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left( x+3 \right)}{2}}}-9-7={{\left( x+3 \right)}{2}}-16= \\ =\left( x+3+4 \right)\left( x+3-4 \right)=\left( x+7 \right)\left( x-1 \right) \\

\end{array}

Источник: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Как разложить уравнение на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами.

Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…

+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  – это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x–16+356·ix–16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  – это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx–1+52x–1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xiКоэффициенты многочленов
13-1-9-18
113+1·1=4-1+4·1=3-9+3·1=-6-18+(-6)·1=-24
-113+1·(-1)=2-1+2·(-1)=-3-9+(-3)·(-1)=-6-18+(-6)·(-1)=-12
213+1·2=5-1+5·2=9-9+9·2=9-18+9·2=0
215+1·2=79+7·2=239+23·2=55
-215+1·(-2)=39+3·(-2)=39+3·(-2)=3
315+1·3=89+8·3=339+33·3=108
-315+1·(-3)=29+2·(-3)=39+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 – это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli/

Разложение многочленов на множители. урок. Алгебра 7 Класс

Как разложить уравнение на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

На этом уроке мы поговорим об одном из основных инструментов, который будем использовать для упрощения алгебраических выражений, – разложении на множители. Для того чтобы представить выражение в виде произведения множителей, мы будем использовать распределительный закон справа налево: ab+ac=a(b+c), а также уже готовые и известные нам конструкции – формулы сокращенного умножения.

Упрощение выражений чем-то похоже на игру в пятнашки: есть исходные данные (выражение, которое нужно упростить, например ) и правила игры (набор стандартных действий, которые приведут к необходимому результату, например порядок выполнения действий: 1) действия в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание).

В пятнашках есть начальные положения, при которых можно выиграть, получить нужный результат (см. рис. 1), а есть те, при которых нельзя (см. рис. 2). Для игры обычно предлагаются те варианты, в которых выиграть можно.

Рис. 1. Положение в пятнашках, при котором можно выиграть

Рис. 2. Положение в пятнашках, при котором нельзя выиграть

Так и с выражениями – есть те, которые упрощаются, есть те, которые нет. Например:

В задачах и примерах вам будут чаще всего встречаться те выражения, которые можно упростить. Нужно только научиться «правилам игры» – методам, которые используются для упрощения выражения, и потренироваться их применять.

Чем больше вы тренируетесь, тем более хорошим «игроком» становитесь (меньше ошибок при упрощении выражений совершаете, быстрее упрощаете, учитесь упрощать более сложные выражения). Все определяет цель – кто-то хочет стать чемпионом, а кому-то достаточно уметь играть в свое удовольствие. Рассмотрим «правила игры» – методы упрощения.

Число 12 можно разложить на множители:

А вот число 17 – нельзя (если не считать  разложением).

Разложение чисел на множители мы использовали для сокращения обыкновенных дробей, нахождения общего знаменателя, например:

Действия с алгебраическими дробями не отличаются от действий с обыкновенными. Чтобы сократить дробь или привести дроби к общему знаменателю, нужно научиться раскладывать выражения на множители.

С некоторыми выражениями мы умеем это делать:

А можно ли разложить на множители ? Оказывается, нет.

Но способов, с помощью которых можно раскладывать на множители, всего два. Рассмотрим их, чтобы научиться раскладывать многочлены на множители и, соответственно, впоследствии упрощать выражения.

Вспомним распределительный закон:

Поскольку это тождество, то по определению равенство выполняется в две стороны: как слева направо, так и наоборот:

В частности, это означает, что:

и т. д.

Такая эквивалентная запись получается с помощью вынесения общего множителя за скобки (в первом примере выносится общий множитель 5, во втором – общий множитель ).

Пример 1.

Вычислить значение выражения:

Решение:

Чтобы не выполнять два умножения, вынесем за скобку общий множитель 17.

Вместо трех действий мы сделаем два:

Ответ: 510.

Пример 2.

Упростить выражение:

Решение:

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3, в знаменателе – общий множитель 12 и сократим:

Ответ: .

ОДЗ при преобразованиях выражений

Почему равенство   не является тождеством?

Какие бы значения переменных  мы ни подставляли в левую часть, ее значение будет получаться равным . Кроме одного случая – когда .

Но тождество – это равенство, которое выполняется на всем множестве значений входящих в него переменных (если это множество отдельно не задано).

Если мы не укажем ограничения на множество значений переменных, то тождественно равными выражения  и  считать нельзя, ведь, например, при  значение первого выражения не определено, а значение второго определено и равно .

Поэтому данные выражения тождественно равны только при условии, что .

Пример 3.

Вычислить значение выражения , если .

Решение:

Вспомним распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Подставим известные значения :

Заметим, что, записав выражение так:  мы упростили выражение, поскольку количество действий, которых нам необходимо совершить, уменьшилось с 5 до 3.

Ответ: 9.

Пример 4.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Ответ: .

Пример 5.

Представить в виде произведения многочленов:

Решение:

Распределительный закон:

В примере можно взять  в качестве :

Ответ: .

Операция, которую мы проделали в рассмотренных примерах, называется разложением на множители. В наших примерах слагаемые имели общий множитель, который мы выносили за скобки, но есть выражения, где не все слагаемые имеют общий множитель, например:

У первых двух слагаемых есть общий множитель , у вторых двух – общий множитель . Вынесем их за скобки:

Мы получили выражение, где у слагаемых есть общий множитель, снова вынесем его:

Мы разложили на множители многочлен, выбрав группы слагаемых, у которых был общий множитель, такой метод разложения на множители называют методом группировки.

Всего есть два основных метода разложения на множители:

  1. Метод группировки.
  2. Использование формул сокращенного умножения (ФСУ).

Пример 6.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ:.

Кроме метода группировки, в разложении на множители выражений нам помогут ФСУ,

вспомним их:

Пример 7.

Разложить на множители:

Решение:

Ответ: .

Использование ФСУ и группировка слагаемых

Мы выделили использование ФСУ в отдельный метод разложения на множители. Однако сами ФСУ получаются методом группировки. Рассмотрим это на примере:

Т. е., обобщив все сказанное, можно сказать, что существует единственный способ разложения многочленов на множители – метод группировки. А вынесение общего множителя и ФСУ можно считать частным случаем этого способа.

Не всегда для разложения выражения на множители можно сразу применить метод группировки. Иногда предварительно одно из слагаемых необходимо эквивалентно представить в виде суммы двух других.

Пример 1.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

Пример 2.

Разложить многочлен на множители:

Решение:

Ответ: .

Разложение на множители с помощью выделения полного квадрата

При изучении ФСУ мы рассматривали метод выделения полного квадрата. Напомним его суть.

Пример 1.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):

Чтобы получилось :

Получим:

Ответ: .

С помощью этого метода некоторые квадратные трехчлены можно разложить на множители.

Пример 2.

Разложить на множители:

Решение:

Например, выделим полный квадрат в следующем выражении:

Обратим внимание, что теперь мы можем воспользоваться формулой разности квадратов
:

Ответ: .

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Выделим полный квадрат:

Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с двумя основными методами, которые используются для упрощения выражений: группировка слагаемых и применение ФСУ.

Оба этих метода используются для вынесения за скобки общих множителей. Сама операция вынесения общего множителя является применением распределительного закона слева направо:

Зачем нужно выносить общий множитель за скобки? Как мы увидели на примерах, это позволяет сократить количество операций, которые нужно сделать для вычисления значения различных выражений или, говоря простым языком, упростить выражения.

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ин­тер­нет-пор­тал yaklass.ru (Источник)
  2. Ин­тер­нет-пор­тал mathematics.ru (Источник)
  3. Ин­тер­нет-пор­тал youclever.org (Источник)

Домашнее задание

1. Разложить выражение на множители и вычислить:

2. Вынести общий множитель за скобки:

3. Разложить многочлен на множители, используя ФСУ:

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli

Решение уравнений методом разложения на множители

Как разложить уравнение на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Пример. Решите уравнение \(x2+5x=0\).
Решение:

\(x2+5x=0\)

Вынесем за скобку икс.

\(x(x+5)=0\)

Разобьем уравнение на два простейших.

\(x=0\)                    \(x+5=0\)

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

\(x_1=0\)                     \(x_2=-5\)

Ответ: \(0\); \(-5\).

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей  равен нулю

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки.

А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д.

 Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь.

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x3+4×2-4x-16=0\).
Решение:

\(x3+4×2-4x-16=0\)

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x2\), а из второй – минус четверку.

\(x2 (x+4)-4(x+4)=0\)

Вынесем за скобку \(x+4\).

\((x+4)(x2-4)=0\)

Разложим на множители \(x2-4\) по формуле сокращенного умножения.

\((x+4)(x-2)(x+2)=0\)

Расщепим уравнения на три.

\(x+4=0\)     \(x-2=0\)     \(x+2=0\)  \(x_1=-4\)        \(x_2=2\)         \(x_3=-2\)

Ответ: \(-4\); \(2\);  \(-2\).

Применение метода разложения на множители для решения уравнений не ограничивается 7-9 классами. Зачастую задач в 10-11 класса также основываются на этом методе.

Пример(задание из ЕГЭ). Решите уравнение \(15{\cos⁡x} =3{\cos⁡x} \cdot 5{\sin⁡x}\).
Решение:

\(15{\cos⁡x} =3{\cos⁡x}\cdot 5{\sin⁡x} \)

Это показательно-тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что \(15\) можно представить как \(3\cdot 5\). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим \(15\) на множители.

\(3{\cos⁡x} \cdot 5{\cos⁡x} = 3{\cos⁡x} \cdot 5{\sin⁡x}\)

Перенесем выражение из правой части в левую.

\(3{\cos⁡x} \cdot 5{\cos⁡x} – 3{\cos⁡x} \cdot 5{\sin⁡x}=0\)

Вынесем за скобки \(3{\cos⁡x}\).

\(3{\cos⁡x}(5{\cos⁡x} -5{\sin⁡x})=0\)

Решаем методом расщепления.

\(3{\cos⁡x} =0\)     или       \(5{\cos⁡x} -5{\sin⁡x} =0\)

В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем \(5{\sin⁡x}\) вправо.

нет корней             \(5{\cos⁡x}=5{\sin⁡x}\)

Имеем показательное уравнение. Решаем его как обычно – «убираем» основания степеней.

                                  \(\cos⁡x=\sin⁡x\)

Делим уравнение на \(\sin⁡x\). Это можно сделать т.к. \(\sin⁡x=0\) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

                                  \(сtg x=1\)

Решаем базовое тригонометрическое уравнение.

                                \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).

Ответ: \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).

Деление многочлена на многочлен уголком

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/79/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.