Объемы фигур. Объем куба

Объем. Подробная теория с примерами

Объемы фигур. Объем куба

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Формула объема куба

Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата  , сейчас мы начнем с куба  .

Объем куба с ребром   метр равен   кубическому метру.

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата   и обозначалась она   м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром   называется кубическим метром и обозначается   м.кв.

Что же такое   м.кв.? А вот, смотри:

Это два кубика с ребром  .

А чему равен объем куба с ребром  ?

Давай считать:

Сколько в большом кубе (с ребром  ) маленьких (с ребром  )?

Конечно,  . Поэтому объем куба с ребром   равен   кубическим метрам, то есть   м.кв. А ведь   это  .

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром   верна формула.

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для  ), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных  .

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Сюда вставить теорию из тем:

формула объема призмы

  –площадь основания

  – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 – то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

  – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно  ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть  , а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  . Нужно найти   и  .

  – это площадь правильного треугольника  .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

 .

У нас « » – это  , а « » – это тоже  , а  .

Значит,  .

Теперь найдем  .

По теореме Пифагора для  

 .

Чему же равно  ? Это радиус описанной окружности в  , потому что пирамидаправильная и, значит,   – центр  .

Найдем   (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

 , так как   – точка пересечения и медиан тоже.

  (теорема Пифагора для  )

 ;  

Значит,  

Подставим   в формулу для  .

И подставим все в формулу объема:

 .

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.  ), то формула получается такой:

 .

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

 .

Здесь   и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому  .

Найдем  . По теореме Пифагора для  

 .

Известно ли нам  ? Ну, почти. Смотри:

  (это мы увидели, рассмотрев  ).

Подставляем   в формулу для  :

 ;

А теперь и   и   подставляем в формулу объема.

 .

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро  .

 .

Как найти  ? Смотри, шестиугольник   состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем   (это  ).

По теореме Пифагора для  

 ?

Но чему же равно  ? Это просто  , потому что   (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

Подставляем:

Объем шара

  – радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Объем цилиндра

  – радиус основания  – высота

Объем конуса

  – радиус основания  – высота

ОБЪЕМ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Формула объема куба:

2. Формула объема призмы:

3. Объем пирамиды:

4. Формулы объема тел вращения

Объем шара

  – радиус

Объем цилиндра

  – радиус основания  – высота

Объем конуса

  – радиус основания  – высота

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

Источник: https://youclever.org/book/obem-1

Формулы вычисления объема всех геометрических фигур

Объемы фигур. Объем куба

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892).

Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств. Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега.

Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба: 

V = a 3

где:

V – объем куба,  a – длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

где: V- объем призмы, 

So – площадь основания призмы, 

h – высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

где: V- объем параллелепипеда, 

So – площадь основания, 

h – длина высоты.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:

где: V – объем пирамиды, 

So – площадь основания пирамиды, 

h – длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

Где: S1 – площадь верхнего основания усеченной пирамиды, S2 – площадь нижнего основания усеченной пирамиды, h – высота усеченной пирамиды.

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

Где: V – объем усеченного конуса; H – высота усеченного конуса;

R и R2 – радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра:

Где: V – объем тетраэдра;

a – ребро тетраэдра.

Объем шарового сегмента и сектора

      

Шаровый сегмент – это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Формула объема шарового сегмента:

Где: R – радиус шара H – высота сегмента π ≈ 3,14

Формула объема шарового сектора:

Где: h – высота сегмента R – радиус шара π ≈ 3,14

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/formuly-obema-figur.html

Формула объема куба

Объемы фигур. Объем куба

  • Справочник
  • Геометрия
  • Формулы объема
  • Формула объема куба

Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.

Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников – это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям. В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть, сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.

Формула для расчета объема куба

Объем куба равен кубу его ребра

\[ \LARGE V = H{3} \]

где:
V – объем куба
H – высота ребра куба

Калькулятор объёма куба

Формулы объемаРасчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры Найдите объем куба, если его сторона равна 2 см.

По формуле для объема куба:

$$ V = a3 $$

$$ V = 23 = 8 ~\text{см} 3 $$

$$ V = 8 ~\text{см} 3 $$ Найдите объем куба, если его площадь поверхности равна 24 см². $$ S = 24 ~\text{см} 2 $$

Найдем сторону куба:

$$ S = 6 \cdot a2 $$

$$ a = \sqrt{ \frac{S}{6} } = \sqrt{ \frac{24}{6} } = 2 ~\text{см} $$

По формуле для объема куба:

$$ V = a 3 $$

$$ 23 = 8 ~\text{см} 3 $$

$$ V = 8 ~\text{см} 3 $$ Найдите объем куба, если радиус вписанной сферы равен 3 см.

Найдем сторону куба:

$$ r = \frac{1}{2} \cdot a $$

$$ a = r \cdot 2 = 2 \cdot 3 = 6 ~\text{см} $$

По формуле для объема куба:

$$ V = a 3 $$

$$ V = 63 = 216 ~\text{см} 3 $$

$$ V = 216 ~\text{см} 3 $$ Найдите объем куба, если радиус описанной сферы равен 2*√3 см. $$ R = 2 \cdot \sqrt{3} ~\text{см} $$

Найдем сторону куба, зная радиус описанной сферы:

$$ R = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot a $$

$$ a = \frac{ (R \cdot 2) }{ \sqrt{3} } = 4 ~\text{см} $$

По формуле для объема куба:

$$ V = a 3 $$

$$ V = 43 = 64 ~\text{см} 3 $$

$$ V = 64 ~\text{см} 3 $$ Найдите объем куба, если диаметр вписанной сферы равен 4 см.

Найдем сторону куба, зная диаметр вписанной сферы:

$$ d=a $$

$$ a = 4 ~\text{см} $$

По формуле для объема куба:

$$ V = a 3 $$

$$ V = 43 = 64 ~\text{см} 3 $$

$$ V = 64 ~\text{см} 3 $$

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
  • Объем цилиндра равен произведению квадрата радиуса основания, высоты цилиндра и числа пи (3.1415)
  • Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
  • Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
  • Формула объёма параллелепипедаОбъем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту
  • Старинные русские меры длины, веса, объёмаСистема древнерусских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, аршин, локоть, пядь и вершок.
  • Массой тела называется физическая величина, характеризующая его инерционные и гравитационные свойства.
  • Рентгены и зиверты: в чем разница1 зиверт — это количество энергии, поглощённое килограммом биологической ткани, равное по воздействию поглощенной дозе 1 Гр.
  • Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
  • Что такое баррель. Чему равен 1 баррель в литрах?Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.
  • Тангенс и котангенс. Формулы и определение Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x). Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
  • Периодичность тригонометрических функцийТригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π. Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Источник: https://calcsbox.com/post/formula-obema-kuba.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.