Рассчитайте g по угловому коэффициенту полученной прямой. Угловой коэффициент прямой (и не только)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассчитайте g по угловому коэффициенту полученной прямой. Угловой коэффициент прямой (и не только)

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости (рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

,   (1)

где – координаты точки , – угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

.   (2)

Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент и прямая проходит через точку .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем – подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угол наклона прямой и прямая проходит через точку .

Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем – подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.

Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 3. Установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом точки и .

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

.

Получили верное равенство, следовательно точка принадлежит заданной прямой.

Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

.

Получили неверное равенство, следовательно точка не принадлежит заданной прямой.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Прямая, проходящая через две данные точки

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, которая проходит через две данные точки и .

В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:

.   (3)

Нам остаётся лишь применять эту формулу.

Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если она проходит через точки и .

Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:

.

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Итак, получили уравнение вида (2).

Проверяем – подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:

Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, проведённой через две данные точки и .

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

.

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Всё по теме “Прямая на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Общее уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой на плоскости Параметрические уравнения прямой на плоскости Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой

Источник: https://function-x.ru/line1.html

3.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассчитайте g по угловому коэффициенту полученной прямой. Угловой коэффициент прямой (и не только)

В декартовых координатах каждая прямаяопределяется уравнением первой степении, обратно, каждое уравнение первойстепени определяет прямую.

Уравнениевида

 (1)

называетсяобщим уравнением прямой.

Угол ,определяемый, как показано на рис.,называется углом наклона прямой к осиОх. Тангенс угла наклона прямой к осиОх называется угловым коэффициентомпрямой; его обычно обозначают буквойk:

Уравнение  называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом;k – угловой коэффициент, b – величинаотрезка, который отсекает прямая на осиОу, считая от начала координат.

Еслипрямая задана общим уравнением

,

тоее угловой коэффициент определяетсяпо формуле

.

Уравнение  являетсяуравнением прямой, которая проходитчерез точку  (, )и имеет угловой коэффициент k.

Еслипрямая проходит через точки (, ), (, ),то ее угловой коэффициент определяетсяпо формуле

.

Уравнение

являетсяуравнением прямой, проходящей черездве точки (, )и (, ).

Еслиизвестны угловые коэффициенты  и  двухпрямых, то один из углов  междуэтими прямыми определяется по формуле

.

Признакомпараллельности двух прямых являетсяравенство их угловых коэффициентов:.

Признакомперпендикулярности двух прямых являетсясоотношение ,или .

Иначе говоря, угловые коэффициентыперпендикулярных прямых обратны поабсолютной величине и противоположныпо знаку.

4.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, Смогут иметь любыезначения, лишь бы коэффициентыА,Вне были нулями оба сразу)представляетпрямуюлинию. Всякую прямую можнопредставить уравнением этого вида.Поэтому его называютобщим уравнениемпрямой.

Если А=0, то есть уравнение несодержитх, то оно представляетпрямую,параллельнуюоси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение несодержиту, то оно представляетпрямую,параллельнуюоси ОY.

Когла Вне равно нулю, то общееуравнение прямой можноразрешитьотносительно ординаты у,тогда оно преобразуется к виду

y=ax+b

(где a=-A/Bb=-C/B).

Аналогично, при Аотличным отнуля общее уравнение прямой можноразрешить относительнох.

Если С=0, то есть общее уравнениепрямой не содержит свободного члена,то оно представляет прямую, проходящуючерез начало координат

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящейчерез данную точку A(x1, y1)в данном направлении, определяемомугловым коэффициентом k,

y – y1 = k(x – x1).     (1)

Это уравнение определяетпучок прямых, проходящих черезточку A(x1, y1),которая называется центром пучка.

6. уравнение прямой,проходящей через две данные точки.

. Уравнениепрямой, проходящей через две точки: A(x1, y1)и B(x2, y2),записывается так:

     (2)

Угловой коэффициент прямой, проходящейчерез две данные точки, определяетсяпо формуле

     (3)

7.Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнениипрямой  ,то разделив (1) на  ,получаем уравнение прямой в отрезках

,

где  ,  .Прямая пересекает ось   вточке  ,ось   вточке  .

8.Формула: Угол между прямыми на плоскости

Уголα междудвумя прямыми, заданнымиуравнениями: y=k1x+b1 (перваяпрямая) и y=k2x+b2 (втораяпрямая), может быть вычислен по формуле(угол отсчитывается от 1й прямойко 2й противчасовой стрелки):

9.Взаимноерасположение двух прямых на плоскости.

  Пусть сейчасоба уравнения прямыхзаписаны в общем виде.

Теорема. Пусть

    и 

– общие уравнения двухпрямых на координатной плоскостиОху. Тогда

1) если ,то прямые  и  совпадают;

2) если ,то прямые   и 

    параллельные;

3) если ,то прямые пересекаются.

   Доказательство.Условие  равносильноколлинеарности нормальных векторов данныхпрямых:

.Поэтому, если ,то  и прямыепересекаются.

   Если же ,то , ,  иуравнение прямой  принимаетвид:

 или ,т.е. прямые совпадают.Заметим, что коэффициент пропорциональности ,иначе все коэффициенты общего уравнения былибы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые несовпадают и не пересекаются, то остаетсяслучай ,т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Источник: https://studfile.net/preview/5474439/page:2/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.